摘要：介紹一種計算Mie散射系數的新方法，給出計算實(shí)例。
關(guān)鍵詞：Mie散射 Mie系數 Mie計算Study of calculating method of mie scattering coefficient
Wang shaoqing
Ren zhongjing
Zhang ximing
Hefang
Jianghaiying
(Shangdong
lnstitute of building materiele.Jinan 25022)Abstract: A new method of calculating mie coefficient is introduced,and calculating examples are


given
Keywords :Mie scattering ,Mie coefficient ,Mie calculation
1引言
Mie理論是球形顆粒對單色光的散射場(chǎng)分布的嚴格解析解。目前在環(huán)保、動(dòng)力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應用。利用單一顆?；蝾w粒群光散射場(chǎng)的測量數據, 可以反推得散射顆?；蝾w粒群的很多物理性質(zhì), 如顆粒的尺寸和顆粒的折射率等。但反推前必須事先計算出各種尺寸的顆粒在各種復折射率下的散射場(chǎng)分布數據。由于散射解十分復雜, 故雖然其解折表達式早在年速、準確計算, 以滿(mǎn)足工程測量, 尤其是在線(xiàn)式工程測量方面的需要, 一直是多年來(lái)沒(méi)有得到徹底解決的一個(gè)難題。
1968年Davezui先報道了完整的Mie散射計算方法，又針對部分計算提出新算法。國內也有人發(fā)表了他們自己的算法。但總的看來(lái), 這些算法均有各自的局限性。尤其是當顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時(shí), 往往計算速度過(guò)慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現象。本文介紹散射新算法。該算法的特點(diǎn)是不受顆粒尺寸及折射率的限制, 不會(huì )產(chǎn)生溢出和不收斂現象, 且具有較快的計算速度。
2 Mie散射系數的計算公式
Mie散射計算的中心問(wèn)題是計算Mie散射系數an和bn，其表達式為其中，a為顆粒的尺寸參數，定義為：
D為顆粒的直徑，為入射光在顆粒周?chē)橘|(zhì)中的波長(cháng)，而m為顆粒在周?chē)橘|(zhì)中的相對復折射率，即：
式中，Jn+1和Nn+1分別為半整數階的*類(lèi)和第二類(lèi)貝塞爾函數。
以上是計算Mie散射系數的基本公式。與Mie散射有關(guān)的物理量如散射場(chǎng)強度、顆粒的消光系數、散射系數和吸收系數、散射光中兩偏振分量的相差、顆粒群的比濁度、不對稱(chēng)因子等）均可利用Mie散射系數求得。
3 計算產(chǎn)生溢出的原因
計算M ie 散射系數須先計算和一般采用遞推法。遞推又分為向前遞推(即從n=0開(kāi)始) 與向后遞推(即從n=N 開(kāi)始至n=0為頂先設定值)。實(shí)驗表明, 向前遞推總是快于向后遞推。
分析（8）（9）兩式可知，當時(shí)，若顆粒尺寸d 很大或復折射率的虛部值m2很大, 將使得乘積m2d很大, 可能使(8)(9)兩式中的項的值超過(guò)計算機的數據限, 從而產(chǎn)生溢出。這是產(chǎn)生溢出的zui要原因。另外在遞推過(guò)程中, 不恰當的算法也可能造成溢出。
4 an和bn的新算法
為解決上述問(wèn)題，作者提出了新算法。將an和bn公式變形如下，令


（12）~（15）式應采用比值形式，即四個(gè)公式中的后半段形式，這樣可避免遞減過(guò)程中a1與b1較大時(shí)乘法運算可能產(chǎn)生的溢出。在以上四式中
均為實(shí)變量函數，計算計不會(huì )產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是的算法如何處理才能保證計算中不產(chǎn)生溢出。Lentz算法采用連分式計算Lm值，其精度是由在大量計算基礎上得出一個(gè)截斷項數N與參數a及m的經(jīng)驗公式而實(shí)現的。這樣的經(jīng)驗公式一則有實(shí)用上的局限性，再則也會(huì )帶來(lái)截斷誤差。文獻對此經(jīng)驗公式作了改進(jìn)，但扔限于a=1-100，m1=1-2，m2=0-1的范圍。下面介紹本文作者發(fā)表的關(guān)于Ln的新算法。該算法的特點(diǎn)是不受a及m值的限制，不會(huì )產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現象，且具有較快的計算速度。令


上面導出的（10）~（38）構成Mie系數an和bn是從n=1開(kāi)始計算的，利用初值公式（34）~（38）式即可算得任意級數an和bn的值，故沒(méi)有舍入誤差問(wèn)題。從（34）式可見(jiàn)，因為y=m2a<0,故無(wú)論m2和a取何值均不會(huì )產(chǎn)生初值溢出：又（12）~（16）各式采用了比的形式，避免了計算過(guò)程中溢出，這就從根本上解決了溢出的問(wèn)題。再者，本算法屬于向前遞推。
5 計算實(shí)例
利用以上算法編制計算顆粒散射強度和消光系數的計算程序。當單位振幅波長(cháng)為的平面自然光入射到顆粒上時(shí)，顆粒的散射光強為
徑d=0.001μm、1.0μm、30μm和100μm，而圖1（d）、（e）為圖（b）、（c）的局部放大圖。
可見(jiàn)，隨著(zhù)顆粒尺寸的增大，前向投射迅速加強，（如圖1（a）、（b）和（c）所示）；并且隨著(zhù)顆粒尺寸的增大，出現了復雜的旁瓣及明顯的后向散射現象。圖2為顆粒的散射光電分布隨折射率實(shí)部與虛部的變化情況?？梢?jiàn)，隨著(zhù)m1和m2的增大，雖然顆粒尺寸不變，散射光也加強，且后向散射逐漸增強。
圖3 (a )、(b) 為消光系數的計算結果。其圖3 (a) 表示消光系數隨折射率實(shí)部的變化；圖3 (b ) 表示消光系數隨折射率虛部的變化?？梢?jiàn)隨著(zhù)顆粒尺寸的增大，消光系數趨近于2。而折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨勢變得更快和更明顯；另外，折射率虛部M2不等于0時(shí)，消光系數的振蕩迅速消失。
以上給出的計算結果與已發(fā)表的計算結果一致, 且與電磁學(xué)理論頂計的消光系數的變化規律相符合, 驗證了本算法的正確性。
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